Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

=

 

； ②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

=

 

．

Answer 1

分析：根据题中所给的等式，找出规律，进而进行推广．得出问题答案．

解答：解：（1）根据：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
可知：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

(n+1)

；

（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2009

-

1

2010

=

2009

2010

，
②进而推广：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

，
=

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

4

-

1

6

）+…+

1

2

（

1

2008

-

1

2010

），
=

1

2

（

1

2

-

1

2010

），
=

251

1005

．

点评：本题考查了有理数的混合运算，主要是从题中找到规律，然后根据规律求解．