Question

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：△BCP≌△DCP；

（2）求证：∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=　 　度．

Answer 1

解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，

∵在△BCP和△DCP中，，

∴△BCP≌△DCP（SAS）。 4分

（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP。

∵PE=PB，∴∠CBP=∠E。∴∠DPE=∠DCE。

∵∠1=∠2（对顶角相等），

∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，

即∠DPE=∠DCE。

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC。

∴∠DPE=∠ABC。

（3）58°