题目内容

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，点F在直线AD上且横坐标为6．

（1）求该抛物线解析式并判断F点是否在该抛物线上；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

解：（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，
∴C点坐标为：（0，3），A点坐标为：（4，0），D点坐标为：（2，3），
将B，C点代入y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴该抛物线解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+2x+3，
设过D，A的直线解析式为：y=ax+k，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线AD的解析式为；y=- $\text{[math]}$ x+6，

∵点F在直线AD上且横坐标为6，
∴y=- $\text{[math]}$ ×6+6=-3，
∴F点坐标为：（6，-3），将F点代入抛物线解析式得出：右边=- $\text{[math]}$ ×36+12+3=-3，
∴F点在该抛物线上；

（2）①∵E（0，6），
∴CE=CO，
如图1，
连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，
当P 运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y=ax+b
∵C（0，3）、F（6，-3）

∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴y=-x+3；
当y=0时，x=3，
∴H′（3，0）
∴CP=3，
∴t=3；
②如图2，过M作MN⊥OA交OA于N，
∵NM∥EO，
∴△AMN∽△AEO，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵EO=6，AO=4，

∴AE=2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AN=t，MN= $\text{[math]}$ t
I．如图2，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN= $\text{[math]}$ PH，
∴MN= $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ ，
∴解得：t=1
II．如图3，当PH=HM时，MH=3，MN= $\text{[math]}$ t，
HN=OA-AN-OH=4-2t，

在Rt△HMN中，
MN²+HN²=MH²，
（ $\text{[math]}$ t）²+（4-2t）²=3²，
整理得：25t²-64t+28=0
解得：t₁=2（舍去），t₂= $\text{[math]}$ ，
III．如图4，如图5，当PH=PM时，PM=3，MT=|3- $\text{[math]}$ t|，
PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
在Rt△PMT中，MT²+PT²=PM²，
（3- $\text{[math]}$ t）²+（4-2t）²=3²，
整理得出：25t²-100t+64=0，
解得：t₁= $\text{[math]}$ ，t₂= $\text{[math]}$ ，
∴综上所述：t= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据矩形的性质得出A，C，D的坐标，进而得出抛物线解析式，再求出AD的解析式，再利用图象上点的性质得出即可；
（2）①首先得出P点位置，再求出FC的解析式，即可得出t的值；
②分别根据当PM=HM时，当PH=HM时，当PH=PM时求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用和相似三角形的判定与性质等知识，根据分类讨论的思想得出注意不要漏解是解题关键．