Question

【题目】如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．

①求点M和点N的坐标；

②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；

③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①N（，3）；②Q（，6）；③不存在，理由见解析；（4）y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．

【解析】

（1）①函数的对称轴为：x=-=，故点M（，），即可求解；

②设抛物线与x轴左侧的交点为R（-1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解；

③四边形MNPD为菱形，首先PD=MN，即（-2x2+2x+4）-（-2x+4）=，解得：x=或（舍去），故点P（，1），而PN==≠MN，即可求解；

（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况，分别求解即可．

（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），

当x＝时，y＝﹣2x+4＝3，故点N（，3）；

②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，

连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，

将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线RB的表达式为：y＝4x+4，

当x＝时，y＝6，

故点Q（，6）；

③不存在，理由：

设点P（x，﹣2x+4），则点D（x，﹣2x2+2x+4），

MN＝﹣3＝，

四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，

即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），

故点P（，1），而PN＝=≠MN，

故不存在点P，使四边形MNPD为菱形；

（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1，2），此时点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，4），

①当∠DBP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，

则∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝＝2＝tanα，则sinα＝，

PA＝，PB＝AB﹣PA＝2﹣＝，

则PD＝＝，故点D（1，）；

②当∠BDP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，

则BD∥x轴，则点B、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（1，4），

综上，点D的坐标为：（1，4）或（1，），

将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c，

解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．