Question

图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题．

（1）将如图填写完整：

图形编号	①	②	③	④	…
三角形个数	1	5			…

按照你发现的规律，写出编号为的图形中三角形的个数

 

；（用含n的代数式表示）
（2）按照上述方法，编号为2014的图形中共有多少个三角形？是否存在某一编号的图形，该图形中三角形的个数为2014？如果存在，请求出该图形的编号；如果不存在，请简述理由；
（3）按照上述方法，是否存在某一编号的图形，该图形中三角形的个数为k²+3k+2（k为正整数）？如果存在，请求出该图形的编号（用含k的代数表示）如果不存在，请简述理由．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）可直接通过图形写出三角形的个数；找出规律得出编号为的图形中三角形的个数；
（2）把n=2014代入（1）中的代数式球的答案；列方程计算，n必须是整数才存在，否则不存在；
（3）通过n和k的取值，计算得出数据的奇偶性分析得出答案即可．

解答： 解：（1）填表如下：

图形编号	①	②	③	④	…
三角形个数	1	5	9	13	…

编号为的图形中三角形的个数4n-3；
（2）当n=2014时，4×2014-3=8053，
令4n-3=2014，解得n=504.25
因为504.25不是正整数，所以不存在某一编号的图形，该图形中三角形的个数为2014．
（3）当n为正整数时，4n-3为奇数；
而当k为奇数，k²+3k+2为偶数，
当k为偶数，k²+3k+2为偶数，
所以不存在某一编号的图形，该图形中三角形的个数为k²+3k+2．

点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出数字的运算规律，利用规律解决问题．