题目内容

如图，等腰直角三角形ABD，点C是直角边AD上的动点，连接CB．现在将点C绕点A逆时针方向旋转90°得点E，再将点C绕点B顺时针方向旋转90°得点F．如果AD=BD= $数学公式$ ，那么S_△AED+S_△BFD-S_△ABC=________．（其中S_△AED表示△AED的面积）

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分析：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分别为M，N，由△ABD为等腰直角三角形，已知AD=BD= $\text{[math]}$ ，由勾股定理，得AB=2，设AC=x，则AE=AM=CM= $\text{[math]}$ x，由此可分别表示S_△AED和S_△ABC，利用S△BFD= $\text{[math]}$ BF×DN，根据∠NDB+∠DBN=90°，∠DBN+∠CBD=90°，可证∠NDB=∠CBD，可证△BDN∽△CBD，利用相似比将BF×DN=DN×BC进行转化，继而可求得S_△AED+S_△BFD-S_△ABC的值．
解答：

解：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分别为M，N，
由旋转的性质可知AC=AE，BC=BF，
设AC=x，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=45°，
∴AE=AM=CM=AC•sin45°= $\text{[math]}$ x，
又∵AD=BD= $\text{[math]}$ ，
∴AB= $\text{[math]}$ =2，
∴S_△AED= $\text{[math]}$ ×AE×AD= $\text{[math]}$ x，S_△ABC= $\text{[math]}$ ×AB×CM= $\text{[math]}$ x，
∵∠DBC+∠DCB=90°，∠DBC+∠DBN=90°，
∴∠DCB=∠DBBN，
∵∠DNB=∠BDC=90°，
∴△BDN∽△CBD，
∴DN：BD=BD：BC，
∴DN×BC=BD²=2，
∴S_△BFD= $\text{[math]}$ ×BF×DN= $\text{[math]}$ ×DN×BC=1，
∴S_△AED+S_△BFD-S_△ABC= $\text{[math]}$ x+1- $\text{[math]}$ x=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了旋转的性质，三角形面积的表示方法，相似三角形的判定与性质的运用．注意旋转前后对应角相等，对应边相等，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角．