Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线与轴的另一个交点为A．

（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标；

（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；

（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+4，A（-1，0）；（2）18；（3）P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．

【解析】

（1）求出B（6，0），C（0，4）并代入y=-x2+bx+c，即可求出解析式；
（2）求出D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；则E（0，8），F（6，8），所以S△BCD=S梯形ECBF-S△CDE-S△BFD=（EC+BF）×OB-×EC×ED-×DF×BF，再由所求点确定各边长即可求面积；
（3）点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，由 ，则，求出m；②△PAQ∽△BCO时， ，则有 ，求出m．

（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），
将点B（6，0），C（0，4）代入y=-x2+bx+c，

则有 ，
解得 ，
∴y=-x2+x+4，
令y=0，则-x2+x+4=0，
解得x=-1或x=6，
∴A（-1，0）；
（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，
∴D（3，8），
过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；
∴E（0，8），F（6，8），
∴S△BCD=S梯形ECBF-S△CDE-S△BFD=（EC+BF）×OB-×EC×ED-×DF×BF
=×（4+8）×6-×4×3-×3×8
=36-6-12
=18；
（3）设P（m，-m2+m+4），
∵PQ垂直于x轴，
∴Q（m，0），且∠PQO=90°，
∵∠COB=90°，
∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：
①△PAQ∽△CBO时， ，
∴，
解得m=5或m=-1，
∵点P是直线BC上方的抛物线上，
∴0≤m≤6，
∴m=5，
∴P（5，4）；
②△PAQ∽△BCO时，，
∴ ，
解得m=-1或m=，
∵点P是直线BC上方的抛物线上，
∴0≤m≤6，
∴m=，
∴P（，）；
综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．