Question

14．观察下列各式：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；…
（1）请推测$\frac{1}{n×（n+1）}$等于什么？（其中n为正整数）
（2）根据推测结果，计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以解答本题；
（2）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．

解答 解：（1）由题意可得，
$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查规律性：数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出题目中式子变化的规律．