Question

在△ABC中，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC、BC的长分别是关于x的方程x²-mx+3m+6=0的两个实根，则sinA+sinB+sinA•sinB=

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形,根与系数的关系

专题：计算题

分析：根据一元二次方程根与系数的关系得到AC+BC=m，AC•BC=3m+6，再利用勾股定理得AC²+BC²=AB²=100，变形后有（AC+BC）²-2AC•BC=100，可得到m的方程m²-2（3m+6）=100，然后解方程得到得m₁=14，m₂=-8（舍去），则AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，再根据三角函数的定义得到sinA=

BC

AB

，sinB=

AC

AB

，则sinA+sinB+sinA•sinB=

BC+AC

AB

+

BC•AC

AB2

，然后整体代入计算即可．

解答：解：如图，
∵AC、BC的长分别是关于x的方程x²-mx+3m+6=0的两个实根，
∴AC+BC=m，AC•BC=3m+6，
而AC²+BC²=AB²=100，
∴（AC+BC）²-2AC•BC=100，即m²-2（3m+6）=100，解得m₁=14，m₂=-8（舍去）．
∴AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，
∵sinA=

BC

AB

，sinB=

AC

AB

，
∴sinA+sinB+sinA•sinB=

BC+AC

AB

+

BC•AC

AB2

=

14

10

+

48

100

=

47

25

．
故答案为

47

25

．

点评：本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和勾股定理求出三角形中未知的角和边．也考查了一元二次方程根与系数的关系．