题目内容

如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于A，B两点，已知OA= $数学公式$ ，tan∠AOC= $数学公式$ ，点B的坐标为（- $数学公式$ ，m）
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出使函数值y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围．

解：（1）过点A作AD⊥x轴于D；
∵tan∠AOC= $\text{[math]}$ ，
∴在Rt△AOD中，tan∠AOC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
设AD=n，OD=3n（其中n＞0）；
∴在Rt△AOD中， $\text{[math]}$ ，
又∵OA= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ n，
∴n=1，
∴3n=3，
∴A（3，1）；
将A（3，1）代入反比例函数 $\text{[math]}$ 中，
∴1= $\text{[math]}$ ，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ；
将B（- $\text{[math]}$ ，m）代入y= $\text{[math]}$ 中，
∴m= $\text{[math]}$ =-2，
∴B（- $\text{[math]}$ ，-2）；
将A（3，1），B（- $\text{[math]}$ ，-2）代入y₁=ax+b中，
得 $\text{[math]}$ 解之得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（2）由图象知，当 $\text{[math]}$ 或0＜x＜3时，y₁＜y₂．
分析：（1）根据∠AOC的正切值，可设出点A的坐标，利用OA的长结合勾股定理可确定点A的坐标，进而可确定反比例函数的解析式；然后将B点坐标代入，即可得到点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式．
（2）结合两个函数的图象及A、B的坐标即可判断出y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围．
点评：此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法以及根据函数图象来比较函数值大小的方法，同时还涉及到解直角三角形的应用，难度适中．