Question

已知：如图，□ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G。
求证：（1）AB=BH；
（2）AB²=GA·HE。

Answer 1

证明：（1）∵□ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE，
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=DC，
∵DC=AB，
∴AB=BH；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE，
∴∠G=∠HBE，
∴△BEH∽△GBA，
∴BH·AB=EH·AG，
∵BH=DC=AB，
∴AB²=GA·HE。