Question

如图，正方形ABCD，M为AD上一点，N为DC延长线上一点，且MA=CN，连MB、NB、MN，E为MN中点，连EC．下列结论：
①△MBN为等腰Rt△；②DM+CN=2BC；③MD=

2

CE；④若正方形边长为1，tan∠CEN=CN，
其中正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,锐角三角函数的定义

专题：几何图形问题

分析：容易证得△ABM≌△BCN，得出BM=BN，①正确；进一步得出②错误；利用E为MN中点，连接ED、EB．求证△DCE≌△BCE，得出∠DCE=∠BCE=45°，利用直角三角形边角关系得出③正确；利用三角形的内角和得出∠CEN=∠CBN，表示出tan∠CEN=CN，得出④正确．

解答：解：连接ED、EB．

∵ABCD是正方形，
∴∠A=∠BCN=90°，AB=CB；
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠A=∠BCN AM=NC

∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠MBA=∠CBN，BM=BN．
∴∠MBN=∠ABC=90°（①△MBN为等腰Rt△正确；②DM+CN=DM+AM=AD=BC≠2BC错误）．
∵E是MN的中点，
∴BE=

1

2

MN；
∵DE=

1

2

MN，
∴DE=BE=EM=EN．
在△DCE和△BCE中，

CD=CB DE=BE CE=CE

∴△DCE≌△BCE，（SSS）
∴∠DCE=∠BCE=45°，
作EQ⊥DN垂足为Q，
∴QE=

1

2

MD，
则CE=

2

QE=

2

2

MD，
∴MD=

2

CE（③正确）；
在△CEP和△BPN中，
∠BNM=∠ECP，∠CPE=∠BPN
∴∠CEN=∠CBN
∴正方形边长为1，tan∠CEN=tan∠CBN=CN，④正确．

点评：此题综合考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形中的边角关系，锐角三角函数的意义等知识，注意解答的方法与技巧．