Question

如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，请直接写出的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）成立；证明见解析；（3）．

【解析】（1）∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB（ASA），∴EF=EG；

（2）成立，

如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH（ASA），

∴EF=EG；

（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD，

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，，

∴,即，

∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME∽△FNE，

∴，∴．