题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c的图象与直线y=- $数学公式$ x+3交于A、B两点，且点A在y轴上，点B的坐标是（4，1）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C．
①求点C的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出此时PA+PC的值；若不存在，说明理由；
③除点C外，在坐标轴上是否存在点Q，使得△QAB为直角三角形？若存在，直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=- $\text{[math]}$ x+3，
∴x=0时，y=3，即A的坐标为（0，3）．
把B（4，1）和A（0，3）代入y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c，
得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

∴抛物线的函数解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3；

（2）①如图，设直线AB：y=- $\text{[math]}$ x+3与x轴交于点D，则D（6，0）．
在△AOC与△DOA中，
$\text{[math]}$ ，
∴△AOC∽△DOA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得OC= $\text{[math]}$ ，
∴点C的坐标为（- $\text{[math]}$ ，0 ）；

②在抛物线的对称轴上存在一点P，能够使得△PAC的周长最小．理由如下：
∵y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ．
设点A（0，3）关于直线x= $\text{[math]}$ 的对称点为A′（3，3），连接A′C交直线x= $\text{[math]}$ 于点P，连接PA，则PA=PA′，
此时PA+PC=PA′+PC=A′C，值最小，即△PAC 的周长的值最小．
∵A′（3，3），C（- $\text{[math]}$ ，0 ），
∴A′C= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴此时PA+PC= $\text{[math]}$ ；

③分两种情况：
（i）以B为直角顶点时，过B点作AB的垂线与x轴交于点Q₁，与y轴交于点Q₂，
易求直线BQ₁的解析式为y=2x-7，所以Q₁（ $\text{[math]}$ ，0），Q₂（0，-7）；
（ii）以Q为直角顶点时，以AB为直径作圆交x轴于Q₃，Q₄，与y轴交于点Q₅，
以AB为直径的圆的方程为（x-2）²+（y-2）²=5，
当y=0时，x=1或3，所以Q₃（1，0），Q₄（3，0）；
当x=0时，y=1或3，所以Q₅（0，1）．
综上可知，所求点Q的坐标为：Q₁（ $\text{[math]}$ ，0），Q₂（0，-7），Q₃（1，0），Q₄（3，0），Q₅（0，1）．
分析：（1）先由y=- $\text{[math]}$ x+3，可得与y轴的交点A的坐标，再把B（4，1）和A（0，3）代入y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；
（2）①设直线AB与x轴交于点D，则D（6，0），由△AOC∽△DOA可得，OC= $\text{[math]}$ ，即点C的坐标为（- $\text{[math]}$ ，0）；
②由抛物线：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3，可得其对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ，设点A关于x= $\text{[math]}$ 的对称点为A′（3，3），连接A′C交直线x= $\text{[math]}$ 于点P，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可知，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，运用两点间的距离公式求出A′C的长度，即为此时PA+PC的值；
③由于以A为直角顶点时，过A点作AB的垂线与坐标轴交于C，所以△QAB为直角三角形时，分两种情况讨论：（i）以B为直角顶点；（ii）以Q为直角顶点．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称-最短路线问题，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．