题目内容

如图，A、B是直线l上的两点，AB=4厘米，过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度精英家教网沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E．
（1）求△APQ的面积S与t的函数关系式；
（2）QE恰好平分△APQ的面积时，试求QE的长是多少厘米？
分析：（1）本题关键是得出S与t的函数关系式，那么求面积就要知道底边和高的长，我们可以QE为底边，过P引l的垂线作高，根据P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函数求出高，那么关键是求QE的长，我们可以根据Q的速度用时间t表示出CQ，那么只要求出CE即可．因为EC∥BA，那么我们可以用相似三角形的对应线段成比例来求CE的长，根据三角形PEC和PAB相似，可得出关于CE、AB、PC、BC的比例关系式，有BP、BC、AB的值，那么我们就可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根据三角形的面积公式得出关于S与t的函数关系式了．
（2）如果QE恰好平分三角形APQ的面积，那么此时P到CD和CD到l之间的距离就相等，那么C就是PB的中点，可根据BP=2BC求出t的值，然后根据（1）中得出的表示QE的式子，将t代入即可得出QE的值．
解答：解：（1）依题可得BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，
∴△PCE∽△PAB，
EC
4
=
t-2
t
，
∴EC=
4(t-2)
t
．
QE=QC-EC=2t-
4(t-2)
t
=
2(t2-2t+4)
t
．
作PF⊥l，垂足为F．则PF=PB•sin60°=
3
2
t
∴S=
1
2
QE•PF=
1
2
•
2(t2-2t+4)
t
•
3
2
t=
3
2
（t2-2t+4）（t＞2）．

（2）此时，C为PB中点，则t-2=2，∴t=4．
∴QE=
2(t2-2t+4)
t
=
2(42-2×4+4)
4
=6（厘米）．
点评：本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，根据相似三角形得出表示CE的式子是解题的关键所在．
练习册系列答案
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（2012•抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．
①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；
②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．
如图所示，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=
13
∠EOC，∠DOE=60°，则∠EOC的度数是
90°
90°
．
如图，A，B是直线l上两点，则图中有
1
1
条线段，有
4
4
条射线．
如图，∠
2
2
与∠C是直线BC与
DE
DE
被直线AC所截得的同位角，直线AB与AC被直线DE所截得的内错角有
∠1与∠3，∠2与∠BDE
∠1与∠3，∠2与∠BDE
，∠
C
C
与∠A是直线AB与BC被直线
AC
AC
所截得的同旁内角．
如图所示，O是直线AB上的点，∠AOC=40°，OD平分∠BOC．
（1）求∠BOD的度数．
（2）若OE⊥AB，分别求出∠DOE和∠COE的度数．

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