Question

已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．
（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数
（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．

Answer 1

分析：根据三角形内角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根据邻补角的性质可求出∠MBC+∠NGB，再根据角平分线的性质∠PBC+∠PCB，根据三角形内角和定理算出结果．

解答：解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α
∴∠CBA+∠ACB=180°-∠BAC=180°-α
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180°
∴∠MBC+∠NGB=360°-∠ABC-∠ACB=360°-（180°-α）=180°+α
∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC=

1

2

∠MBC，∠PCB=

1

2

∠NCB
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

∠MBC+

1

2

∠NCB=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α
∵∠BAC=α，∠ACB=β，∵∠MBC是△ABC的外角
∴∠MBC=α+β
∵BP平分∠MBC
∴∠MBP=

1

2

∠MBC=

1

2

（α+β）
∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC
∴∠BAP=

1

2

α，∠MBP=∠BAP+∠APB
∴∠APB=∠MPB-∠BAP=

1

2

（α+β）-

1

2

α=

1

2

β；

（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论不发生变化，
∠BPC=90°+

1

2

α；∠PND=

1

2

β．

点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质．注意知识的灵活运用．