Question

如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上的一动点，连接BE，BE的延长线交DC的延长线交于点F
（1）写出图中的所有相似三角形；
（2）若BE平分∠ABC，
①当CD=1，AB=2，AE=

1

2

AD时，求出BC的长；
②当CD=a，AB=b，AE=

1

n

AD时，求出BC的长．

Answer 1

分析：（1）由线段AB∥CD，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证得△ABE∽△DFE，△ABK∽△DCK；
（2）由线段AB∥CD，BE平分∠ABC，易证得△BCF是等腰三角形，即BC=CF，又由△ABK∽△DCK，根据相似三角形的对应边成比例，可得

AE

DE

=

AB

DF

；
①由AE=

1

2

AD，可得DF=AB=2，继而求得答案；
②由AE=

1

n

AD，可得DF=（n-1）AB=（n-1）b，继而求得答案．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，△ABK∽△DCK；

（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠F，
∴∠F=∠CBF，
∴BC=CF，
∵△ABK∽△DCK
∴

AE

DE

=

AB

DF

，
①∵AE=

1

2

AD，
∴AE=DE，
∴AB=DF=2，
∴BC=CF=DF-CD=2-1=1；
②∵AE=

1

n

AD，
∴

AE

DE

=

1

n-1

，
∴DF=（n-1））AB=（n-1）b，
∴BC=CF=DF-CD=（n-1）b-a．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．