题目内容

如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值．
（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形．
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
解答：解：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB==5，
∴sin∠ABC=．

（2）∵点E在x轴上，S△AOE=，即AO×OE=，
解得OE=．∴E（，0）或E（-，0）．
由已知可知D（6，4），设yDE=kx+b，
当E（，0）时有，
解得．
∴yDE=x-．
同理E（-，0）时，yDE=．
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=；
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；
∵，
∴△AOE∽△DAO．

（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（-，-），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=×=，
∴F（-，）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；
F3（-，-）；F4（-，）．
点评：一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比；相似三角形对应边成比例；给定两个点作为菱形的顶点，那么这两个点可能是菱形的对角所在的顶点，也可能是邻角所在的顶点．
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