Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE²=EF•EB．
（1）求证：CB=CF；
（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图1，
∵AE²=EF•EB，
∴=．
又∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；

（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．
∴=．
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，
∴sin∠GAO=，
∴=，即=，
解得，r=，即⊙O的半径是．
分析：（1）如图1，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；
（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO==，则以求r的值．
点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质．解答（2）题的难点是推知点E是弧AD的中点．