Question

【题目】背景知识：如图，在中，，若，则：．

（1）解决问题：

如图（1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、 之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即，由此可得线段、、之间的数量关系是： ；

（2）类比探究：

将图（1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明；

（3）拓展应用：

将图（1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）．

Answer 1

【答案】（1）△EAC≌△BDC；BD+BA=；（2）BDBA=，证明见解析；（3）4.

【解析】

（1）利用ASA证明出△EAC≌△BDC，从而得出AE=BD，EB=AE+AB=BD+AB，根据进一步得出答案即可；

（2）过C作EC⊥CB交MN于E，利用ASA证明△ACE≌△DCB，进而求得线段之间的关系，进一步求证即可；

（3）过C作EC⊥CB于MN于E，利用ASA证明△ACE≌△DCB，然后进一步即可求出AB的长.

（1）∵，

∴∠ACE+∠ACB=90°，

∵，

∴∠BCD+∠ACB=90°

∴∠ACE=∠BCD，

在四边形ACDB中，

∵，，

∴∠CAB+∠D=180°，

∵∠CAB+∠EAC=180°

∴∠D=∠EAC，

在△EAC与△BDC中，

∵∠EAC=∠D，AC=DC，∠ACE=∠DCB，

∴△EAC≌△BDC(ASA)，

∴AE=BD，EC=BC，

∴EB=AE+AB=BD+AB，

在Rt△ECB中，

∵EC=BC，

∴，

∴BD+BA=，

故答案为：△EAC≌△BDC；BD+AB=；

（2）BDBA=，

证明：

如图（2），过C作EC⊥CB交MN于E，则∠ECB=90°，

∴∠ECB+∠BCA=∠ACD+∠BCA,

∴∠ECA=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

记AC与BD的交点为F，则∠BFA=∠DFC，

∴∠BAF=∠FDC，

在△ACE与△DCB中，

∵∠BAF=∠FDC，AC=DC，∠ECA=∠BCD，

∴△ACE≌△DCB(ASA)，

∴AE=BD，CE=CB，

∴在Rt△BCE中，BE=，

∴BD=AE=BA+BE=BA+,

即：BDBA=；

（3）

如图（3）过C作EC⊥CB于MN于E，MN与CD相交于F，

∵∠ACD=∠ACF=90°，∠ECB=90°，

∴∠ACB+∠BCF=∠BCF+∠ECF，

∴∠ACB=∠ECF，

∴∠ACB+90°=∠ECF+90°，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°∠AFC，∠D=90°∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

在△ACE与△DCB中，

∵∠ACE=∠BCD，AC=DC，∠CAE=∠D，

∴△ACE≌△DCB(ASA)，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

∴BE=，

又∵BE=ABAE=ABBD,

∴ABBD=，

∵BD=2，BC=，

∴AB=4.