Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③AM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

如图所示：连接BD、DC，

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ED=DF，

∴①正确；

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD=30°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=AD，

同理：DF=AD，

∴DE+DF=AD，

∴②正确；

③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°，

假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，

又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°，

∴∠ABC=90°，

∵∠ABC是否等于90°不知道，

∴不能判定MD平分∠ADF，

故③错误；

④∵DM是BC的垂直平分线，

∴DB=DC，

在Rt△BED和Rt△CFD中

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=FC，

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC，

又∵AE=AF，BE=FC，

∴AB+AC=2AE，

故④正确，

所以正确的有3个，

故选B．