Question

（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A₁B₁C₁的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A₁B₁C₁位似，则△A₁B₁C₁的第三个顶点的坐标为

（3，4）或（0，4）

．

Answer 1

分析：首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从①若A的对应点为A₁（1，3），C的对应点为C₁（2，5）与②若C的对应点为A₁（1，3），A的对应点为C₁（2，5）去分析求解，即可求得答案．

解答：解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），
∴

4k+b=0 6k+b=4

，
解得：

k=2 b=-8

，
∴直线AC的解析式为：y=2x-8，
同理可得：直线AB的解析式为：y=

1

2

x-2，直线BC的解析式为：y=-x+10，
∵△A₁B₁C₁的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），
∴过这两点的直线为：y=2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
①若A的对应点为A₁（1，3），C的对应点为C₁（2，5），
则B₁C₁∥BC，B₁A₁∥BA，
设直线B₁C₁的解析式为y=-x+a，直线B₁A₁的解析式为y=

1

2

x+b，
∴-2+a=5，

1

2

+b=3，
解得：a=7，b=

5

2

，
∴直线B₁C₁的解析式为y=-x+7，直线B₁A₁的解析式为y=

1

2

x+

5

2

，
则直线B₁C₁与直线B₁A₁的交点为：（3，4）；
②若C的对应点为A₁（1，3），A的对应点为C₁（2，5），
则B₁A₁∥BC，B₁C₁∥BA，
设直线B₁C₁的解析式为y=

1

2

x+c，直线B₁A₁的解析式为y=-x+d，
∴

1

2

×2+c=5，-1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直线B₁C₁的解析式为y=

1

2

x+4，直线B₁A₁的解析式为y=-x+4，
则直线B₁C₁与直线B₁A₁的交点为：（0，4）．
∴△A₁B₁C₁的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．
故答案为：（3，4）或（0，4）．

点评：此题考查了位似图形的性质．此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．