Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）求∠ACF的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠ACF＝90°．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，从而证出∠ABE＝∠CBF，然后利用SAS即可证出结论；

（2）根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，然后根据全等三角形的性质可得∠BCF＝∠BAE＝30°，从而求出结论．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，

∵△BEF是等边三角形，

∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△ABE和△CBF，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS）；

（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，

∵△ABE≌△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝30°，

∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°．