Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，12),B(16，0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向点O移动，同时点Q从点B开始在BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。

⑴求直线AB的解析式；
⑵求t为何值时，△APQ与△AOB相似？
⑶当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
⑷当t为何值时，△APQ的面积最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）y=-x+12；（2）,；（3）2，8；（4）5，20.

试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．
（3）根据△APQ的面积为，求出t的值.
（3）过点O作QE⊥AO于点E，利用t表示出△APQ的面积，利用函数的性质即可求解．
试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意，得
解得：
所以，直线AB的解析式为y=-x+12；
（2）由AO=12，BO=16得AB=20，
所以AP=t，AQ=20-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以，
解得t=（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以，
解得t=（秒）；
∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；
（3）过Q点作QE⊥Y轴于点E，
由△AQE∽△AOB知：
即：
解得：QE=
又S△APQ=
解得：,
(4)∵QE=
∴S_△APQ=AP•QE=t()=-t²+8t=-（t-5）²+20
∴当t=5时，△APQ的面积最大，最大面积是20个平方单位．
考点: 一次函数综合题.