Question

（本小题满分１２分）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

（1）求BD的长；
（2）求∠ABE+2∠D的度数；
（3）求的值．

Answer 1

解：（1）连接OC，并延长BO交AE于点H，
∵AB是小圆的切线，C是切点，
∴OC⊥AB，
∴C是AB的中点． 
∵AD是大圆的直径，
∴O是AD的中点．
∴OC是△ABD的中位线．
∴BD=2OC=10． 
（2）连接AE，由（1）知C是AB的中点．
同理F是BE的中点．
由切线长定理得BC=BF．
∴BA=BE．                       
∴∠BAE=∠E．
∵∠E=∠D， 
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º．
（3）连接BO，在Rt△OCB中，
∵OB=13，OC=5，
∴BC=12． 
由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．
∵∠BGO=∠AGB，
∴△BGO∽△AGB． 
∴． 

略