Question

6．按题意作出图形，并写出已知、求证（不必证明）．
（1）等腰三角形腰上的高相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直．

Answer 1

分析 （1）根据已知画出图形，易证△ACE≌△ABD，根据全等三角形的性质，得CE=BD；
（2）两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的和是180°，然后根据角平分线的性质求出这对同旁内角和的一半是90°，即可求证一对同旁内角的平分线互相垂直．

解答 解：（1）已知：AB=AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
在△ACE与△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠ADB}\\{∠A=∠A}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD；

（2）解：如图，已知AB∥CD，OP，MN分别平分∠BOM，∠OMD，OP，MN交于G点，
求证：MN⊥OP．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BOM+∠OMD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵MN、OP分别是平分∠BOM，∠OMD，
∴2∠POM+2∠NMO=180°，
∴∠POM+∠GMO=90°，
∴∠MGO=90°，
∴MN⊥OP．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；平行线的性质以及角平分线的性质，证明的步骤是：先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证，最后写出证明过程．