Question

如图，在平面直角坐标系内，点0为坐标原点，经过点A（2，6）的直线交x轴负半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴正半轴于点D，若△ABD的面积为27．
（1）求直线AD的解析式；
（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，根据等腰三角形的性质就可以B点的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式；
（2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的总坐标，将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；
（3）要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标．

解答：解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，
∵A（2，6），
∴OG=2，AG=6．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠COB=90°，∠COB+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠OBC=∠OCB=45°．
∵∠COB=∠AGB=90°，
∴CO∥AG．
∴∠BAG=∠OCB=∠OBC═45°
∴BG=AG=6，
∴OB=4，
∴B（-4，0）
∵S△ABD=

1

2

BD•AG=27，
∴BD=9
∴OD=5，
∴D（5，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b
∵A（2，6）D（5，0），
∴

6=2k+b 0=5k+b

，
解得：

k=-2 b=10

，
∴直线AD的解析式为y=-2x+10；
（2）过点P作PH⊥BD，点H为垂足
∠BPH=180°-∠ABO-∠PHB=45°

∴∠BPH=∠PBH，
∴PH=HB．
设AB的解析式为：y=kx+b，由题意，得

6=2k+b 0=-4k+b

，
解得：

k=1 b=4

，
∴直线AB的解析式为：y=x+4．
∵OB=4，点P的横坐标为m
∴PH=HB=m+4．
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标为m+4．      
∵点E在直线 y=-2x+10上，
∴m+4=-2x+10，
∴x=3-

1

2

m，
∴点E的横坐标为3-

1

2

m．
∵点P的横坐标为m，
∴y=3-

1

2

m-m，
=-

3

2

m+3
∴m的取值范围为-4＜m＜2；
（3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，

①当∠FPE=90°时，有PF=PE，PF=m+4  PE=-

3

2

m+3，
∴-

3

2

m+3=m+4
解得m=-

2

5

此时F（-

2

5

，0）；
②当∠FPE=90°时，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，

∴EF=m+4，
∴-

3

2

m+3=m+4，
 解得：m=-

2

5

．
∴点E的横坐标为3-

1

2

m=3-

1

2

×（-

2

5

)=

16

5

，
∴F（

16

5

，0）；
③当∠PFE=90°时  FP=FE，
∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，
∴∠FPE=∠FEP=45°．
作FR⊥PE，点R为垂足，

∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，
∴∠PFR=∠RPF，
∴FR=PR．
 同理FR=ER，
∴FR=

1

2

PE．
∵点R与点E的纵坐标相同，
∴FR=m+4，
∴m+4=

1

2

（-

3

2

m+3），
解得：m=-

10

7

，
∴PR=FR=m+4=-

10

7

+4=

18

7

，
∴点F的横坐标为-

10

7

+

18

7

=

8

7

，
∴F（

8

7

，0）．
综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（-

2

5

，0）或（

16

5

，0）或（

8

7

，0）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．