题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= $数学公式$ （x-m）²- $数学公式$ m²+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

解：（1）当m=2时，y= $\text{[math]}$ （x-2）²+1，
把x=0代入y= $\text{[math]}$ （x-2）²+1，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．

（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，- $\text{[math]}$ m²+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（- $\text{[math]}$ m²+m）= $\text{[math]}$ m²，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DE=4．

（3）①∵点A的坐标为（m，- $\text{[math]}$ m²+m），
∴点D的坐标为（2m，- $\text{[math]}$ m²+m+4），
∴x=2m，y=- $\text{[math]}$ m²+m+4，
∴y=- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +4，
∴所求函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（- $\text{[math]}$ m²+m+4）-（ $\text{[math]}$ m²）=- $\text{[math]}$ m²+m+4，
把P（3m，- $\text{[math]}$ m²+m+4）的坐标代入y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4得：
- $\text{[math]}$ m²+m+4=- $\text{[math]}$ ×（3m）²+ $\text{[math]}$ ×（3m）+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（- $\text{[math]}$ m²+m+4）+（ $\text{[math]}$ m²）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4得：
m+4=- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，
综上所述：m的值为8或-8．
分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=- $\text{[math]}$ m²+m+4，将m= $\text{[math]}$ 代入y=- $\text{[math]}$ m²+m+4，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．