Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB=18，AD=，AF=，求AE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)AE=16

【解析】

（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）根据平行四边形的性质可得出CD=AB=8，根据相似三角形的性质可得出，代入各线段长度可求出DE的长度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=18．

由(1)知△ADF∽△DEC，

∴，

∴DE===24．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

AE===16．