Question

已知△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x²(2k+3)x+    k²+3k+2=0的两个实数根，第三边的长为5．

    (1)当k为何值时，△ABC是直角三角形?

(2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长．

Answer 1

 (1)由方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0，得b²4ac=1,无论k取何值，方程均有实数根：x₁=k +1，x₂=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．第三边BC=5,当△ABC为直角三角形时，分两种情况：

①当BC=5是斜边时，有AB²+AC²=BC²，即(k+1)²+(k+2)²=25，解得k₁=2，k₂=5(舍去)；②当AC是斜边时，有AB²+BC²=AC²，即(k+1)²+5²=(k+2)²，解得k=11．当k=2和k=11时，△ABC是直角三角形 

(2) AB=k+1，AC=k+2，BC=50, 当△ABC是等腰三角形时，有两种情况：

  ①当AC=BC=5时，k+2=5，k=3．△ABC的周长为5+5+k+1=14；②当AB=BC=5时，k+1=5，k=4．△ABC的周长为5+5+k+2=16．故当k=3和4时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长分别是14和16