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精英家教网如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
分析：（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；
（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；
（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．
解答：（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC．

精英家教网（2）解：①如图1，当0＜x≤2.5时，
ED=10-4x，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（10-4x）×
3
4
x=-
3
2
x2+
15
4
x，
当x=
5
4
时，最大值y=
75
32
，
②如图2，当2.5＜x≤5时，
ED=4x-10，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-10）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
4
x=
3
2
（x-
5
4
）2-
75
32
．
当2.5＜x≤5时，y有最大值，
当x=5时，最大值为y=
75
4
，
∴y与x之间的函数解析式为y=
-
3
2
x2+
15
4
x(0＜x≤2.5) 
3
2
x2-
15
4
x (2.5＜x≤5)
，
则当2.5＜x≤5时，y有最大值，其最大值是y=
75
4
．
综上可得，y的最大值为
75
4
．

（3）解：①如图1，当0＜x＜2.5时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴10-4x=
5
4
x，x=
40
21
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当2.5＜x≤5时，
若DE=DH，4x-10=
5
4
x，x=
40
11
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
320
103
，
∴当x的值为
40
21
，
40
11
，5，
320
103
时，△HDE是等腰三角形．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件．
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23、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
精英家教网如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=
34
，D是BC点边上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=18．
（1）求BC的长（2）求CE的长．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（　　）
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙0与BC、CA、AB分别切于点D、E、F．
（1）若BC=40cm，AB=50cm，求⊙0的半径；
（2）若⊙0的半径为r，△ABC的周长为ι，求△ABC的面积．
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90゜，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，BC=4．
（1）求sinα的值； 
（2）求AD的长．

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