Question

（2004•静安区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，点O₁、O₂在BC上，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁与AB相切于点D，与AC相离，⊙O₂与AC相切于E，与AB相离．
（1）求证：DP∥AC；
（2）设⊙O₁的半径为x，⊙O₂的半径为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）△ADP能否为直角三角形？如果能够，请求出⊙O₂的半径；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接O₁D，有切线的性质和已知条件证明∠DPO₁=30°，再证明∠C=∠B=30°，进而证明∠DPO₁=∠C，有同位角相等两线平行即可证明DP∥AC；
（2）连接O₂E，作AH⊥BC，垂足为H，根据切线长定理和解直角三角形的知识即可求出求y与x的函数解析式，进而求出自变量的取值范围；
（3）△ADP能为直角三角形，此小题需要分当∠DPA=90°时；当∠DAP=90°时；当∠ADP=90°时，三种情况分别讨论，根据已知条件求出满足题意的半径值即可．

解答：（1）证明：连接O₁D，
∵⊙O₁与AB相切于点D，
∴∠BDO₁=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BO₁D=60°，
∵O₁D=O₁P，
∴∠DPO₁=∠PDO₁，
∵∠DO₁P=∠DPO₁+∠PDO₁=2∠DPO₁，
∴∠DPO₁=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°．
∴∠DPO₁=∠C，
∴DP∥AC；

（2）解：连接O₂E，作AH⊥BC，垂足为H．
∵⊙O₂与AC相切于E，∴∠CEO₂=90°．
∵∠C=30°，PO₂=EO₂=y，∴CO₂=2EO₂=2y，
同理：PO₁=x，BO₁=2x．
在Rt△ABH中，BH=AB•cosB=6•coc60°=3

3

，
∴BC=2BH=6

3

，
∴2x+x+y+2y=6

3

∴函数解析式为y=2

3

-x，定义域为：

3

2

＜x＜

3 3

2

；

（3）解：△ADP能为直角三角形．
当∠DPA=90°时，∵DP∥AC，∴∠PAC=90°，
在Rt△APC中，CP=

AC

sinC

=

6

sin30°

=4

3

，
∴y+2y=4

3

，
∴y=

4 3

3

，
即⊙O₂的半径为

4 3

3

，
当∠DAP=90°时，在Rt△ABP中，同理可求得x=

4 3

3

∴y=2

3

-

4 3

3

=

2 3

3

，
即⊙O₂的半径为

2 3

3

，
由于∠ADO₁=90°，所以∠ADP不可能为90°．
综上所述⊙O₂的半径为

4 3

3

或

2 3

3

．

点评：本题综合考查了两圆外切的性质、两平行线的判定和性质、直角三角形的判定和直角三角形的性质以及解直角三角形的运用，题目综合性强难度大．