Question

14．如图，点C在⊙O的直径AB上，AB=6，AC=1．点P为⊙O上的任意一点，当∠OPC取最大值时，则△OCP的面积为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先确定其∠OPC取最大值时点P的位置：PC⊥AB时，根据勾股定理求出PC，利用面积公式代入求面积即可．

解答 解：如图，当PC⊥AB时，∠OPC取最大值，
∵AB是⊙O的直径，AB=6，
∴OA=OP=3，
∵AC=1，
∴OC=2，
在Rt△OCP中，由勾股定理得：CP=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△OCP=$\frac{1}{2}$OC•PC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了勾股定理和圆周角定理，本题确定最大值时点P的位置是关键．