Question

已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，点P在BA的延长线上，且∠PCD=∠DOC，OD：AD=1：2，PA=6，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求sin∠APC的值．

Answer 1

分析：（1）∠DOC+∠OCA=90°，∠PCD=∠DOC，∠OCB=90°，判定PC是⊙O的切线．
（2）证明△OCP∽△ODC，根据相似三角形的性质求出半径．
（3）求出OC：OP的值，即为所求．

解答：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°．
∴∠DOC+∠DCO=90°．（1分）
∵∠PCD=∠DOC，
∴∠PCD+∠DCO=90°．（1分）
∴∠DCP=90°．
∴PC是⊙O的切线．（1分）

（2）解：设OD=k，AD=2k，OC=OA=3k（k＞0），
∵∠DOC=∠DCO=90°，
又∵∠OCP=∠ODC=90°，
∴△OCP∽△ODC．
∴

OC

OD

=

OP

OC

．
∴OC²=OD•OP．（5分）
∴（3k）²=k．
∴（3k+6）k=1．
∴OC=3k=3即⊙O的半径为3．（1分）

（3）解：∵在R△OCP中OC=3，OP=9，
∴sin∠APC=

1

3

．（2分）

点评：考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，及求三角函数．