Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为（　　）

• A． $\frac{7}{6}$，2或3
• B． 3或$\frac{7}{6}$
• C． 2或$\frac{7}{6}$
• D． 2或3

Answer 1

分析 分三种情况①当AD=AB时，容易得出CD的长；
②当AD=BD时，设CD=x，则AD=x+3，由勾股定理得出方程，解方程即可；
③当BD=AB时，由勾股定理求出AB，即可得出CD的长．

解答 解：分三种情况：
①当AD=AB时，
如图1所示：
则CD=BC=3；
②当AD=BD时，
如图2所示：
设CD=x，则AD=x+3，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
（x+3）²=x²+4²，
解得：x=$\frac{7}{6}$，
∴CD=$\frac{7}{6}$；
③当BD=AB时，
如图3所示：
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BD=5，
∴CD=5-3=2；
综上所述：CD的长为3或$\frac{7}{6}$或2；
故选：A．

点评 本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．