Question

5．如图所示，△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于A₁，∠A₁BC与∠A₁CD的平分线交于A₂，则：
（1）∠A₂与∠A有怎样的数量关系？写出并证明；
（2）继续作∠A₂BC与∠A₂CD的平分线可得∠A₃，如此下去可得∠A₄，…，∠A_n，猜想∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；
（3）当∠A=64°时，∠A₄=4°．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度数，同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$，
（2）根据发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$的规律即可得解，
（3）把∠A=64°代入∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A解答即可．

解答 解：（1）∠A₂=$\frac{1}{4}∠A$，理由如下：
∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}∠A$=$\frac{1}{4}∠A$，
（2）根据以上规律∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）当∠A=64°时，∠A₄=$\frac{1}{{2}^{4}}×64°=4°$，
故答案为：4°．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD是解答此题的关键．