Question

12．如图，点A（1，$\sqrt{3}$），将线段OA平移至线段BC，B（3，0）．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）连AC，AB，求三角形ABC的面积；
（3）若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），试探究∠CPO与∠BCP之间的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由平移得到BM=BN=$\sqrt{3}$，从而得出点C坐标；
（2）由平移得到四边形OABC是矩形，△ABC的面积和△OAB的面积一样大，
（3）分三种情况讨论计算，①当点P在y轴负半轴时，BC与y轴交点（含交点）上方时．②当点P在y轴负半轴时，BC与y轴交点（含交点）下方时，③当点P在y轴正半轴时，简单计算即可．

解答 解：（1）如图，

∵点A（1，$\sqrt{3}$），将线段OA平移至线段BC，B（3，0）．
∴BM=BN=$\sqrt{3}$，
∴C（2，-$\sqrt{3}$）；                                   
（2）连接OC，
 

∵B（3，0）
∴OB=3，
由平移得，四边形OABC是矩形，
S_三角形ABC=S_三角形OBC=$\frac{1}{2}$OB×|y_C|=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；                
（3）过点P作直线l∥AO，
∵OA∥BC，
∴l∥BC，
①如图，

当点P在y轴负半轴时，BC与y轴交点（含交点）上方时．
∠CPO+∠BCP=360°-90°-60°=210°            
②如图，

当点P在y轴负半轴时，BC与y轴交点（含交点）下方时．
∠BCP-∠CPO=150°
③当点P在y轴正半轴时，
∠BCP-∠CPO=∠AOy=90°-60°=30°

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形面积的计算，分类讨论计算，解本题的关键是分类，易漏掉．