Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²-2x+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）运用待定系数法将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入y=ax²-2x+c，求出解析式即可；
（2）将四边形ABPC的面积，面积分割为S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB求出三个三角形的面积即可得出；
（3）根据菱形的性质，得出y=-

3

2

，x的值，从而得出P点的坐标．

解答：解：（1）将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入y=ax²-2x+c得：

9a-6+c=0 c=-3

解得：

a=1 c=-3

，
∴二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；

（2）当点P运动到抛物线顶点时，连接AC，PC，PB，PO，做PM⊥AB，PN⊥OC，
∵二次函数的表达式为y=x²-2x-3；
∴P点的坐标为（1，-4），即PN=1，PM=4，还可得出OB=3，OC=3，AO=1，
∴四边形ABPC的面积=S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB
=

1

2

×AO×OC+

1

2

×PN×OC+

1

2

PM×OB，
=

1

2

×1×3+

1

2

×1×3+

1

2

×4×3，
=9；

（3）存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为（x，y），
PP′交CO于M，若使四边形POP′C是菱形，
则有PC=PO，连接PP′，则PM⊥CO于M，
∴OM=MC=

3

2

，
∴y=-

3

2

．
∴x²-2x-3=-

3

2

，
解得：x₁=

2+ 10

2

，x₂=

2- 10

2

（不合题意舍去），
∴P点的坐标为（ 

2+ 10

2

，-

3

2

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及分割四边形求面积，以及菱形的性质，题目是中考中比较典型问题．