Question

【题目】已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点K，连接DB、DC．

（1）如图1，求证：DB＝DC；

（2）如图2，点E、F在⊙O上，连接EF交DB、DC于点G、H，若DG＝CH，求证：EG＝FH；

（3）如图3，在（2）的条件下，BC经过圆心O，且AD⊥EF，BM平分∠ABC交AD于点M，DK＝BM，连接GK、HK、CM，若△BDK与△CKM的面积差为1，求四边形DGKH的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DGKH的面积：4.

【解析】

（1）根据题意证明即可．

（2）连接OC、OD、OG、OH，作OM⊥GH．先证明△ODG≌△OCH，然后利用垂径定理可得结论．

（3）延长BM交圆O于P，连接CP、DP，作DQ⊥BM于Q，延长HD至R，使DR＝DG，连接RG．先证DM＝DC＝DB，将△BDK与△CKM的面积差用BM表示从而求出BM的长，也就知道了DK的长，通过证明△DBK≌△HRG可知GH与DK相等，而四边形DGKH的面积就等于GH与DK乘积的一半．

解：（1）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴DB＝DC．

（2）如图2，连接OC、OD、OG、OH，作OM⊥GH．

则OD＝OC，

∴∠OCH＝∠ODH，

∵，

∴DO⊥BC，

∴∠ODG＝∠ODH，

∴∠ODG＝∠OCH，

在△ODG和△OCH中：

∴△ODG≌△OCH（SAS），

∴OG＝OH，

∵OM⊥GH，

∴GM＝MH，EM＝FM，

∴EG＝FH．

（3）如图3，延长BM交圆O于P，连接CP、DP，

作DQ⊥BM于Q，延长HD至R，使DR＝DG，连接RG．

∵BC为直径，

∴∠BDC＝∠BPC＝90°，

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB＝∠BPD＝∠CPD＝45°，

∵BM平分∠ABC，

，

∴∠PDM＝∠PDC，

在△DPM和△DMC中：

∴△DPM≌△DMC（ASA），

∴DM＝DC＝DB，PC＝PM，

∴∠MDQ＝∠MDB，BQ＝MQ＝BM

∴∠QDP＝∠QDM+∠MDP＝∠BDM+∠MDC＝∠BDC＝45°，

∴PQ＝DQ，

∵DK⊥GH，

∴∠BDK＝∠RHG，

∵RD＝GD，∠GDR＝90°，

∴∠GRH＝45°＝∠KBD，

又∵GD＝CH，

∴RD＝CH，

∴RH＝CD＝BD，

在△DBK和△HRG中：

∴△DBK≌△HRG（ASA），

∴HG＝DK＝BM．

∵S△BDK﹣S△CKM＝1，

∴S△BDM﹣S△CBM＝1，

∴﹣＝BM（DQ﹣CP）＝BM（PQ﹣PM）＝BM2＝1．

∴BM＝2，

∴GH＝DK＝BM＝2，

∴S四边形DGKH＝GHDK＝4．