Question

如图矩形纸片ABCD中，AB=4，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，由翻折变换的性质得出F、B′重合，分别延长AE，CD相交于点G，由平行线的性质可得出GB′=AB′=AB=4，再根据相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G，求出其相似比，进而可求出答案．
解答：解：如图所示，设PF⊥CD，
由翻折变换的性质可得BP=B′P，
又∵P到边CD的距离与到点B的距离相等，
∴B'P⊥CD，
∵AB平行于CD，
∴∠BAG=∠AGC，
∵∠BAG=∠B′AG，AGC=∠B′AG，
∴GB′=AB′=AB=4，
∵PB′⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴△ACG∽△PB′G，
∵Rt△ADB′中，AB′=4，AC=3，
∴CB′=，
在△ACG和△PB′G中．==，
解得：PB'===．
故答案为．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质及相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．