Question

如图矩形纸片ABCD的边长AB=a，BC=b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点（点A、C除外），连接MN．若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN折叠，折叠后点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形是菱形BNDM．
请你探索a、b之间的数量关系，并求出当a=

3

时，菱形BNDM的面积．

Answer 1

分析：根据翻折的性质可得OB=AB，OD=CD，然后求出BD=2a，再根据勾股定理列式整理即可得到a、b的关系式；
先判断出∠ADB=30°，然后解直角三角形求出OM，再根据菱形的对角线互相平分求出MN的长，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

解答：解：∵沿BM、DN折叠，折叠后点A、C恰好都落在点O处，
∴OB=AB，OD=CD，
∵矩形纸片的边长AB=a，
∴BD=OB+OD=2AB=2a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，AD²+AB²=BD²，
即b²+a²=（2a）²，
整理得，b=

3

a；

∵BD=2a，AB=a，
∴∠ADB=30°，
∴OM=

3

3

OD=

3

3

a，
在菱形BNDM中，MN=2OM=

2 3

3

a，
∴菱形BNDM的面积=

1

2

BD•MN=

1

2

×2a•

2 3

3

a=

2 3

3

a²，
∵a=

3

，
∴菱形BNDM的面积=

2 3

3

×

3

²=2

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，翻折的性质，综合题，但难度不大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．