Question

2．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=OB=2，等腰直角△OCD的直角顶点O在原点，点C、D 分别在线段OA、OB上，且点D为线段OB的中点，将△OCD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到等腰直角△OC₁D₁，连结AC₁、BD₁，在旋转过程中：
（1）求证：AC₁=BD₁；
（2）是否存在△OAC₁的面积与△OCD的面积相等？若存在，请求出对应α的度数；若不存在，请说明理由；
（3）连接C₁C、D₁C，求∠C₁CD₁的度数．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可得，△OCD≌△OC₁D₁，由全等三角形的性质和等要直角三角形的性质得，OC₁=OD₁=$OC=OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$，∠COC₁=∠DOD₁，
所以△AOC₁≌△BOD₁，利用全等三角形的性质得出结论；
（2）利用（1）中的结论，假设△OAC₁ 的面积等于△OCD的面积，得S_△BOD1=S_△OC1D1 ，得BC₁∥OD₁，由平行线的性质得BC₁⊥OC₁，由直角三角形的性质得C₁ D=BD=OD=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{2}×2$=1，故△ODC₁ 为等边三角形，求得α；当切点C₁ 在第二象限时，同理可得结论；
（3）由（2）得点C，D，C₁，D₁ 均在以O为圆心，OD长为半径的圆O上，利用圆周角定理得∠C₁ CD₁=$\frac{1}{2}$∠C₁ OD₁=$\frac{1}{2}×90°$=45°．

解答 （1）证明：由旋转的性质可得：△OCD≌△OC₁D₁，
∴OC₁=OD₁=$OC=OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$，∠AOC₁=∠BOD₁，
在△AOC₁ 和△BOD₁ 中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AO{C}_{1}=∠BO{D}_{1}}\\{O{C}_{1}=O{D}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AOC₁≌△BOD₁，
∴AC₁=BD₁

（2）解：如图1，由（1）得△AOC₁≌△BOD₁，△OCD≌△OC₁ D₁，
∴S_△AOC1=S_△BOD1，S_△OCD=S_△OC1D1，
假设△OAC₁ 的面积等于△OCD的面积，
∴S△AOC₁=S△BOD₁=S△OCD=S△OC₁ D₁，
当S△BOD₁=S△OC₁ D₁，
∴BC₁∥OD₁，
在等要直角三角形OC₁ D₁ 中，∠C₁ OD₁=90°，
∴OC₁⊥OD₁，
∵BC₁∥OD₁，
∴BC₁⊥OC₁，
由（1）得OC₁=OD₁=OC=OD，
∴点C，D，C₁，D₁ 均在以O为圆心，OD长为半径的圆O上，
∵BC₁⊥OC₁，
BC₁为⊙O的切线，切点为C₁，
∵过圆外B点与⊙O相切的直线有且只有2条，当切点C₁ 在第一象限时，在直角△BC₁O中，D为斜边OB的中点，连接DC₁，
C₁ D=BD=OD=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{2}×2$=1，
∴OD=DC₁=C₁ O=1，
∴△ODC₁ 为等边三角形，
∴∠DOC₁=60°，
α=∠COD-∠DOC₁=90°-60°=30°，
如图2，当切点C₁ 在第二象限时，同理，
在Rt△BC₁O中，D为斜边OB的中点，连接DC₁，
C₁ D=BD=OD=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{2}×2=1$，
∴OD=DC₁=C₁ O=1，
∴△ODC₁为等边三角形，
∴∠DOC₁=60°，
α=∠COD+∠DOC₁=90°+60°=150°，
∴△OAC₁ 的面积等于△OCD的面积时，α=30°或α=150°；

（3）解：由（2）得点C，D，C₁，D₁ 均在以O为圆心，OD长为半径的圆O上，
当0°＜α＜180°时，
在⊙O中圆周角∠C₁CD₁ 对着劣弧C₁ D₁，
∴∠C₁ CD₁=$\frac{1}{2}$∠C₁ OD₁=$\frac{1}{2}×90°$=45°．

点评 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和等要直角三角形的性质及判定，切线的性质等，数形结合，分类讨论，逆推法是解答此题的关键．