Question

已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P，设⊙O的半径为r。
（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP=r²；
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由。

Answer 1

解：（1）连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ， ∵FQ是⊙O直径， ∴∠FDQ=90°， ∴∠QFD+∠Q=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠P+∠C=90°， ∵∠Q=∠C， ∴∠QFD=∠P， ∵∠FOE=∠POF， ∴△FOE∽△POF， ∴， ∴OE·OP=OF2=r2；
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，（1）中的结论成立， 理由如下： 依题意画出图形（如图），连接FO并延长交⊙O于M，连接CM， ∵FM是⊙O直径， ∴∠FCM=90°， ∴∠M+∠CFM=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠E+∠D=90°， ∵∠M=∠D， ∴∠CFM=∠E， ∵∠POF=∠FOE， ∴△POF∽△FOE， ∴， ∴OE·OP=OF2=r2。