Question

如图，在等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

Answer 1

分析：设出PB的长，根据含有30度的直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可表示出AQ的长，根据当点P与点Q重合时，BP+AQ=2，即可得到一个方程，从而求解．

解答：解：设BP=x，在直角三角形PBE中，∠BPE=30°
∴BE=

1

2

x，
则EC=2-

1

2

x．
在直角△EFC中，∠FEC=30°，
∴FC=

1

2

EC=1-

1

4

x．
∴AF=2-FC=2-（1-

1

4

x）=1+

1

4

x．
同理：AQ=

1

2

AF=

1

2

+

1

8

x
当点P与点Q重合时，
BP+AQ=2
即x+（

1

2

+

1

8

x）=2
解得：x=

4

3

故当BP=

4

3

时，点P与点Q重合．

点评：本题主要考查了含有30度的直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半，设出BP，进而表示出AQ的长是解题的关键．