题目内容

如图，矩形ABCD，AB=8厘米，BC=12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动；同时，Q自点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动．设点P运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于15厘米²；
（2）当t为何值时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BCD相似？

解：（1）根据题意得：AP=t厘米，BP=AB-AP=8-t（厘米），BQ=2t厘米，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴S_△PBQ= $\text{[math]}$ PB•BQ= $\text{[math]}$ （8-t）•2t=15，
解得：t=3或t=5，
∴当t为3或5时，△PBQ的面积等于15厘米²；

（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=8厘米，BC=12厘米，
∴∠PBQ=∠C=90°，CD=AB=8厘米，
∴①当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，△PBQ∽△DCB，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
②当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，△PBQ∽△BCD，
解得：t=2，
∴当t为 $\text{[math]}$ 或2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
分析：（1）由题意可得AP=t厘米，BP=AB-AP=8-t（厘米），BQ=2t厘米，即可得S_△PBQ= $\text{[math]}$ PB•BQ= $\text{[math]}$ （8-t）•2t=15，解此方程即可求得答案；
（2）由矩形ABCD，AB=8厘米，BC=12厘米，即可得∠PBQ=∠C=90°，CD=AB=8厘米，然后分别从当 $\text{[math]}$ 时，△PBQ∽△DCB与当 $\text{[math]}$ 时，△PBQ∽△BCD去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想以及方程思想的应用．