Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，⊙O与AB相切于点D，且AD=1，BD=0.5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结OD，如图，根据三角形内心的性质得点E、F为切点，则利用切线长定理得CE=CF，由⊙O与AB相切于点D，根据切线长定理得到AD=AF=1，BE=BD=

1

2

，设CE=x，则BC=x+

1

2

，AC=x+1，然后在Rt△ABC中利用勾股定理得（x+

1

2

）²+（x+1）²=（1+

1

2

）²，解得x₁=

-3+ 17

4

，x₂=

-3- 17

4

（舍去），所以BC=

-1+ 17

4

，AC=

1+ 17

4

，再根据三角形面积公式求解．

解答：解：作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结OD，如图，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴点E、F为切点，
∴CE=CF，
∵⊙O与AB相切于点D
∴AD=AF=1，BE=BD=

1

2

，
设CE=x，则BC=x+

1

2

，AC=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC²+AC²=AB²，
∴（x+

1

2

）²+（x+1）²=（1+

1

2

）²，解得x₁=

-3+ 17

4

，x₂=

-3- 17

4

（舍去），
∴BC=

-1+ 17

4

，AC=

1+ 17

4

，
∴△ABC的面积=

1

2

•

-1+ 17

4

•

1+ 17

4

=

1

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．