Question

已知关于x的方程x²+（m-3）x+m=0有两个根x₁，x₂，且0≤x₁≤2，0≤x₂≤2，求m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：根据根的判别式可得m≥9或m≤1①；由x₁≥0，x₂≥0可得x₁+x₂≥0，x₁•x₂≥0，根据根与系数的关系可求得0≤m≤3②；由x₁≤2，x₂≤2可得x₁-2≤0且x₂-2≤0，从而得到（x₁-2）+（x₂-2）≤0且（x₁-2）•（x₂-2）≥0，进而得到x₁+x₂-4≤0且x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4≥0，根据根与系数的关系可求得m≥

2

3

③；综合①②③即可得到m的取值范围．

解答：解：∵关于x的方程x²+（m-3）x+m=0有两个根x₁，x₂，
∴△=（m-3）²-4×1×m≥0，
整理得：m²-10m+9≥0，
即（m-1）（m-9）≥0，
解得：m≥9或m≤1①．
∵x₁≥0，x₂≥0，
∴x₁+x₂≥0，x₁•x₂≥0，
根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=3-m，x₁•x₂=m，
则有3-m≥0且m≥0，
解得：0≤m≤3②．
∵x₁≤2，x₂≤2，
∴x₁-2≤0且x₂-2≤0，
∴（x₁-2）+（x₂-2）≤0且（x₁-2）•（x₂-2）≥0，
∴x₁+x₂-4≤0且x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4≥0，
∴3-m-4≤0且m-2（3-m）+4≥0，
∴m≥-1且m≥

2

3

，
∴m≥

2

3

③．
综合①②③得：

2

3

≤m≤1．
∴m的取值范围是

2

3

≤m≤1．

点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解不等式及不等式组等知识，运用根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键．本题还可设y=x²+（m-3）x+m，从而将问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题，只需运用数形结合的思想就可解决问题．