Question

如图，⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．

（1）求证：四边形OCPE是矩形；

（2）求证：HK＝HG；

（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．

Answer 1

解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，

∴OD⊥AB，∠PCO＝90°

∵PE∥OD,∴∠P＝90°，

∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，

∴四边形OCPE是矩形.

(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.

∵PE∥OD,∴∠K＝∠ODG.

∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,

∴HK＝HG.

(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.

∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG.

∴△OFD∽△EFK，∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,

∴KE＝6.