Question

【题目】如图，点为外一点，点为上一点，点为上一点且，连接并延长交于点，连接，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径为8．求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可得∠BAP=∠BPA，由，可证∠C+∠CPO=90°，即可推出∠BAP+∠PAO=90°，结论得证；

（2）作BD⊥AP于点D，先求出AB，OP的长，再求出CP长，根据△BPD∽△CPO，得出比例线段，求PD的长，则AP可求．

∵AB=BP，

∴∠BAP=∠BPA，

∵，

∴∠BOC=90°，即∠PCO+∠OPC=90°，

∵OA=OC，

∴∠PAO=∠C，

∵∠BPA=∠CPO，

∴∠BAP+∠PAO=90°，

∴∠BAO=90°，

又∵点为上一点，

∴是的切线；

（2）如图，作BD⊥AP于点D，

在Rt△ABO中，OB=10，OA=8，

则AB=6，OP=4，

在Rt△CPO中，PO=4，CO=8，

则，

∵BA=BP，

∴AD=PD，

∵∠COP=90°，

∵∠BDP=90°，∠BPD=∠CPO，

∴△BPD∽△CPO，

∴，即，

∴，

∴．