Question

如图，⊙O的半径为

3

，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）需要分两种情况讨论，①点A在x轴负半轴，②点A在x轴的正半轴，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标．
（2）根据题意画出图形，①点A在上半圆上，②点A在下半圆上，

解答：（1）解：

（1）当点A的坐标为（

3

，0）时，可得等边三角形的边长=2-

3

，
由等边三角形的性质可得C₁D=

2 3 -3

2

，A₁D=

2- 3

2

，
故可得点C₁的坐标为（

2+ 3

2

，

2 3 -3

2

）；
同理：当点A的坐标为（-

3

，0）时，点C₂的坐标为（

2- 3

2

，

2 3 +3

2

）；
（2）连接OA，

①当A点在x轴上方时，
∵直线AB与⊙O相切，
∴OA₁⊥AB，
∴∠OAB=90°，OB=2，OA₁=

3

，
∴sin∠OBA₁=

3

2

，A₁B=BC₁=1，
∴∠OBA₁=60°，
∴∠CBx=60°，
∴C1E=

3

2

，BE=

1

2

，
∴点C的坐标（

5

2

，

3

2

）．
②当A点在x轴下方时，
∵∠OBA=60°，
∴C点在x轴上，
∴点C的坐标为（2-

3

，0）
（3）过点A作AE⊥OB于点E，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x，
故S=

3

4

AB2=

3

4

(7-4x)=-

3

x+

7 3

4

，
其中-

3

≤x≤

3

，
当x=-

3

时，S的最大值为3+

7 3

4

，
当x=

3

时，S的最小值为-3+

7 3

4

．

点评：此题考查了切线的性质、一次函数的性质、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，关键是仔细审题，仔细、逐步解答，难度较大．